Ariel = function() {
  this.name = 'ariel';
};

Ariel.prototype.toString = function() {
  return this.name;
};

Ariel.prototype.popup = function() {
  alert(this.toString());
};

継承するにはgoog.inheritsを使います。

ArielNT = function() {
  ArielNT.superClass_.constructor.call(this);
};
goog.inherits(ArielNT, Ariel);

ArielNT.prototype.toString = function() {
  return ArielNT.superClass_.toString.apply(this, arguments) + '-networks';
};

prototype.jsのClass.createや$superに比べると随分と冗長です。
ただし$superの場合FunctionをtoStringして解析したりしているので、速度的にはclosure libraryの方が有利なのかもしれません。

最新版のclosure libraryにはgoog.baseと言うメソッドが追加されています。
これを使うとさっきのArielNTクラスは以下のように書けます。

ArielNT = function() {
  goog.base(this);
};
goog.inherits(ArielNT, Ariel);

ArielNT.prototype.toString = function() {
  return goog.base(this, 'toString') + '-networks';
};

そしてArielNTクラスを定義したファイル(ariel-nt.js)を作成して、これをclosure compilerに渡してみましょう。

$ java -jar compiler.jar -js ariel-nt.js -js_output_file ariel-nt-compiled.js

ArielNT = function(){
  Ariel.call(this)
};
goog.inherits(ArielNT, Ariel);

ArielNT.prototype.toString = function(){
  return ArielNT.superClass_.toString.call(this) + "-networks"
};

ちなみにgoog.baseを展開してくれるのは上記のようにArielNT.prototypeに一つずつメソッドやフィールドを追加した場合だけです。
例えばprototype.jsみたいに

goog.mixin(ArielNT.prototype, {
  toString: function() {
    return goog.base(this, 'toString') + '-networks';
  }
});

ariel-nt.js:8: ERROR - incorrect use of goog.base: Could not find enclosing method.
    return goog.base(this, 'toString') + '-networks';
                    ^

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